UNIDAD I Sistemas Numericos

COLEGIO DE BACHILLERES
Plantel 13 Xochimilco-Tepepan
Actividades para el grupo 102

________________________________LECTURA

ORIGENES DE ALGUNOS SISTEMAS NUMERICOS
NUMERACIÓN

Sistema de símbolos o signos utilizados para expresar los números.
Las primeras formas de notación numérica consistían simplemente en líneas rectas, verticales u horizontales; cada una de ellas representa el numero 1. Por lo que este sistema era extremadamente engorroso para manejar grandes números y para hacer operaciones. Ya en el año 3400 a.C. en Egipto y Mesopotamia se utilizaba un símbolo específico para representar el número 10.
En la notación cuneiforme de babilonia el símbolo utilizado para el 1, era el mismo para el 60 y sus potencias.; el valor del símbolo venía dado por su contexto.
En la antigua Grecia coexistieron dos sistemas de numeración paralelos. El primero de ellos estaba basado en las iniciales de los d (PI); el 10 con la letra pnúmeros, el número 5 se indicaba con la letra (chi) y el 1000 conc (eta); el 1000 con la letra h(delta) el 100 con la letra (mu). En el segundomla letra sistema eran usadas todas las letras del alfabeto griego más otras tres tomadas del alfabeto fenicio como guarismos. La ventaja de este sistema era que con poca cantidad de números se podían expresar grandes cifras; pero había que saberse de memoria un total de 27 símbolos.
Numeración Romana

Este sistema (tan bien conocido por nosotros) tuvo el mérito de ser capaz de expresar los números del 1 al 1.000.000 con solo siete símbolos: I para el 1, V para el 5, X para el 10, L para el 50, C para el 100, D para el 500 y M para el 1000. Es importante acotar que una pequeña línea sobre el número multiplica su valor por mil.
En la actualidad los números romanos se usan para la historia y con fines decorativos. La numeración romana tiene el inconveniente de no ser práctica para realizar cálculos escritos con rapidez.
Numeración Arábiga
El sistema corriente de notación numérica que es utilizado hoy y en casi todo el mundo es la numeración arábiga. Este sistema fue desarrollado primero por los hindúes y luego por los árabes que introdujeron la innovación de la notación posicional; en la que los números cambian su valor según su posición. La notación posicional solo es posible si existe un número para el cero. El guarismo 0 permite distinguir entre 11, 101 y 1001 sin tener que agregar símbolos adicionales. Además todos los números se pueden expresar con sólo diez guarismos, del 1 al 9 más el 0. La notación posicional ha facilitado muchísimo todos los tipos de cálculos numéricos por escrito.
SISTEMAS NUMÉRICOS
En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema.
A lo largo de la historia se han utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes.
Valores posicionales
La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos -0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9- depende de la posición del número completo.
Para convertir un número n dado en base 10 a un número en base b, se divide (en el sistema decimal) n por b, el cociente se divide de nuevo por b, y así sucesivamente hasta obtener un cociente cero.
Sistema binario

El sistema binario desempeña un importante papel en la tecnología de los ordenadores. Los números se pueden representar en el sistema binario como la suma de varias potencias de dos.
Ya que sólo se necesitan dos dígitos; el sistema binario se utiliza en ordenadores y computadoras.
Números
Palabra o símbolo utilizado para designar cantidades o entidades, que se comporten como cantidades. Es la expresión de la relación existente entre una cantidad y otra magnitud que sirve de unidad. Se pueden considerar números todos aquellos conceptos matemáticos para los cuales se definen dos operaciones, de adición y multiplicación, cada una de las cuales obedece a las propiedades conmutativa y asociativa.
CONJUNTOS NUMERICOS
Números Naturales
Dicho en términos muy simples, los números naturales son los que sirven para contar.
El conjunto de los números naturales tiene las siguientes propiedades:
· Al conjunto de los números naturales pertenecen el 0 y el 1.
· Si se suma a un natural el número 1 el resultado es otro número natural.
· Por lo tanto el conjunto de los naturales es un conjunto infinito.
· Las propiedades enunciadas anteriormente constituyen el Axioma de Inducción Completa.
Números Enteros
El conjunto de números enteros, es también infinito.
Son parejas de números naturales (x,y), cuya resta x-y define un número entero.
Por ejemplo: la pareja (7,3) define el entero positivo 4 ya que 7 - 3 = 4.
la pareja (2,4) define el entero negativo -2 ya que 2 - 4 = -2.
Existe un isomorfismo entre parte del conjunto de los números enteros y el de los números naturales; ya que el conjunto de los naturales es el de los enteros positivos.
Al conjunto de los enteros también pertenece el 0 que está definido por todas aquellas parejas de naturales iguales (1,1) ; (56,56) ; etc.
Números Racionales
El conjunto de números racionales está integrado por parejas de números enteros cuyos elementos se dividen entre sí.
A este conjunto también pertenece el 0, que está definido por todas aquellas fracciones que tienen al 0 por numerador.
Los racionales serán positivos o negativos según sea el signo de cada uno de los integrantes de las parejas que los definen.
Así será que parejas de enteros de igual signo definirán un racional positivo; y parejas de enteros de distinto signo definirán un racional negativo.
No existen racionales cuyo denominador sea 0.
Números Reales
El campo de los números reales es más amplio que el de los racionales; ya que incluye números que no están formados por parejas de enteros. Por ejemplo la no es un )prelación que existe entre una circunferencia y su diámetro (número racional.
Se trata de un conjunto también infinito.
Siempre entre dos números reales hay otro número real; de ahí que se asocie al conjunto de los números reales con una recta. La recta está formada por infinitos puntos y cada punto representaría un número real.

UNIDAD II

Unidad II

Introducción al lenguaje algebraico

En las matemáticas, se usa un lenguaje que facilita la resolución de problemas y operaciones con una o varias cantidades desconocidas. Ejemplo:
La herencia, el ambiente externo, la temperatura y el periodo de insolación son factores muy importantes para el crecimiento, además de la alimentación. De los tres años a la prepubertad (10 u 11 años para las niñas y 13 o 14 para los niños), el promedio de crecimiento es de 5 o 6 cm cada año.
En las vacaciones de verano, Guillermo creció 2 cm, y 1 cm en lo que va de este curso. Si su estatura actual es de 152 cm, ¿cuánto tenía de altura al finalizar el curso anterior?
Se puede resolver por medio de la siguiente expresión:

Resolviendo:
e + 3 = 152
e = 149
Resultado: Tenía una estatura de 149 cm al finalizar el curso anterior.
A la expresión de enunciados con letras que simbolizan cantidades desconocidas, se les llama expresiones algebraicas.
Las siguientes, son expresiones escritas en lenguaje común y en lenguaje algebraico.
a) Un número aumentado en cuatro unidades: n + 4
b) La diferencia de dos números distintos: x – y
c) El producto de dos números distintos: p q
d) La mitad de un número:
En una expresión algebraica, las cantidades desconocidas reciben el nombre de incógnitas.

TEMA: LENGUAJE ALGEBRAICO

INSTRUCCIONES: Transformar en enunciados verbales las siguientes expresiones algebraicas:

1. ) : _________________________________________________
2. ) : _________________________________________________
3. ) : _________________________________________________
4. ) : _________________________________________________
5. ) : _________________________________________________
6. ) : _________________________________________________
7. ) : _________________________________________________
8. ) : _________________________________________________
9. ) : _________________________________________________
10. ) : _________________________________________________
11. ) : _________________________________________________
12. ) : _________________________________________________
13. ) : _________________________________________________
14. ) : _________________________________________________
15. ) : _________________________________________________
16. ) : _________________________________________________
17. ) : _________________________________________________
18. ) : _________________________________________________
19. ) : ____________________________________________
20. ) : _________________________________________________
21. ) : _________________________________________________
22. ) : _________________________________________________

Marca la alternativa correcta de cada pregunta. Escribe también el desarrollo.
1. ) ¿Cuál es la expresión que corresponde a: “los cuadrados de dos números enteros consecutivos”?
a)
b)
c)
d)
e)

2. ) Si x es un número entero positivo impar, el tercer número impar que viene después de x, será:
a)
b)
c)
d)
e)

3. ) EL Club popular Colo-Colo convierte m goles en su primer partido, m-5 en el segundo y m+10 en el tercero. ¿Cuántos goles convierte en el cuarto partido si en total hizo 4m goles?
a)
b)
c)
d)
e)

4. ) ¿Cuántas veces debe repetir los dos tercios de “x” para obtener “y”?
a)
b)
c)
d)
e)

5. ) En un gallinero hay P pollos. Se enfermó la mitad y luego la mitad del resto. Los pollos sanos son:
a)
b)
c)
d)
e) 0

6. ) Un alumno debe resolver ejercicios de algebra. De estos resultan correctos. ¿Cuántos ejercicios incorrectos tuvo?
a)
b)
c)
d)
e)


7. ) El “ triple del cuadrado de la diferencia entre a y el cuádruplo de b” en lenguaje algebraico es:
a)
b)
c)
d)
e)



8. ) Si a es la mitad de b y b es igual a 4, entonces, el doble de a mas el triple de b es:
a) 12
b) 14
c) 16
d) 18
e) 20

9. ) ¿Por cuánto se debe multiplicar a para obtener b?
a)
b)
c)
d)
e)

10. ) La mitad de z aumentada en el producto de 18 por w, se expresa por:
a)
b)
c)
d)
e)

11. ) Después de subir x kilogramos, Lorena pesó 50 kilogramos. ¿Cuál era su peso anterior?
a) x kg.
b) 50 kg
c)
d)
e)

12. ) Si Rafael es 10 años mayor que Jessica. ¿Qué edad tiene Rafael si hace x años Jessica tenía 10 años?
a) x años
b) 10 años
c)
d)
e)
13. ) ¿En cuál (es) de las siguientes ecuaciones, n toma un valor perteneciente a los números naturales?
I.
II.
III.

a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d) Sólo II y III
e) I, II y III

14. ) Si el doble de 3x es 36, entonces. ¿Cuál (es) de las afirmaciones siguientes es (son) verdadera (s)?
I. El doble de 3x es igual al triple de 2x
II. La mitad de 3x es igual al cuadrado de 3
III. El doble de x es igual al triple de 3

a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d) Sólo I y III
e) Sólo II y III
15. ) Si las dimensiones de un rectángulo son y entonces su área quedará expresada por:
a)
b)
c)
d)
e)

Ejercicios de Sistemas de Ecuaciones

A los integrantes del grupo 102, les recuerdo que esta lectuta es importante para poder terminar el curso

Chat

Chat (español: charla), que también se le conoce como cibercharla, es un anglicismo que usualmente se refiere a una comunicación escrita a través de internet entre dos o más personas que se realiza instantáneamente. Esta puede ser desde cualquier lado del mundo tomando en cuenta que se necesita una cuenta de correo electronico.

Descripción
La acepción de la palabra Chat es amplia, y por lo general agrupa a todos los protocolos que cumplen la función de comunicar a dos o más personas, dentro de éstos están los clientes de chat, como por ejemplo X-Chat, ChatZilla (el cliente de Mozilla/SeaMonkey) o el mIRC; éstos usan el protocolo IRC, cuyas siglas significan Internet Relay Chat. Otros son protocolos distintos pero agrupados en lo que es la mensajería instantánea, tales como MSN Messenger, Yahoo! Messenger, Jabber, o ICQ entre los más conocidos, o también el servicio de SMS de telefonía móvil. También se puede agrupar al peer-to-peer. También es muy usado el método webchat, que no es otra cosa que enviar y recibir mensajes por una página web dinámica, o usando el protocolo "IRC" si se trata de un applet de Java.

Verbo chatear
A raíz del uso de la palabra chat, posteriormente entre los usuarios se originó la palabra Chatear, para indicar la acción de establecer una cibercharla. Aún así, chatear fue reconocido por la Real Academia Española como verbo que indica la acción de tomar chatos (de vino); en la 22ª edición, aún no había sido incorporado al diccionario de la RAE en una acepción relacionada con la informática, hasta junio del 2007 cuando se reconoce como una comunicación por Internet (véase el documento de editorial Espasa, similar forma que asume el Diccionario Panhispánico de Dudas 2005 (realizado por la Real academia Española y la Asociación de Academias de lengua Española), que asienta el uso del verbo chatear como mantener una conversación mediante el uso de mensajes electrónicos.

Usuarios del chat
Entre los usuarios del chat, es común que estas personas escriban bajo seudónimos o alias llamados nick. Entre los usuarios de este tipo de medios, destacan los usuarios que en chats, foros, y otros medios, escriben en demasía en un lenguaje corto (Short), simplificando palabras al igual que en el SMS que no respetan la ortografía. Se denominan chaters.
Del Chat al Videochat
Uno de los Chat mejores desarrollados y con mayor capacidad de comunicación en tres medios como lo son el texto, video, y el audio en acción simultanea a través de un programa conocido como Paltalk que en el fondo es un servicio de red social con la inclusión de videochat en las redes sociales.
Paltalk actualmente es una aplicación para establecer videoconferencias para usuarios de Windows, podemos suscribir a una de las más de 4000 salas de chats habilitadas, usadas por más de cinco millones de usuarios en todo el mundo, o crear la nuestra propia. Nos permite también comunicarnos con usuarios de Yahoo, AOL, e ICQ.
Su tecnología es licenciada en cualquier lugar donde los grupos de usuarios estén en línea. Actualmente su tecnología está disponible para su libre descarga además existe una opción de pago, con mayores beneficios.
Una de las grandes garantías es que se pueden realizar charlas en vivo, conferencias, tele-educación, capacitación.

Obtenido y modificado de "http://es.wikipedia.org/wiki/Chat"

UNIDAD 3 SIST. DE ECUACIONES

INSTRUCCIONES: Analiza la siguiente información, comprendela perfectamente, ya que la proxima clase la comentaremos por equipos.....gracias

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales, no Homogeneos, Homogeneos, usando el método de Gauss, y Gauss-Jordan.

Contacto. www.jesuspenama@gmail.com

Contenido 1

1. Sistemas de Ecuaciones Lineales.
1.1. Ecuaciones lineales
1.2. Ejemplos, ecuaciones lineales y su solucion
1.2.1. La ecuacion ax = b
1.2.2. La ecuacion ax + by = c
1.2.3. La ecuacion ax + by + cz = d
1.3. Sistemas de ecuaciones 2 £ 2
1.3.1. Ejemplos de sistemas 2 £ 2
1.4. Solucion de sistemas de ecuaciones
1.5. Metodo de eliminacion de Gauss
1.6. Metodo de eliminacion de Gauss-Jordan
1.7. Sistemas Homogeneos
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Sistemas de Ecuaciones Lineales

1.1. Ecuaciones lineales.
Defnicion 1 Una ecuacion lineal sobre el campo R es una expresion de la
forma:
a1x1 + a2x2 + ¢ ¢ ¢ + anxn = b;
donde los ai; b 2 R; y las xi son indeterminadas.
Un conjunto de valores que toman las indeterminadas x1 = c1; x2 = c2; x3 =
c3; ::; xn = cn, se llama solucion de la ecuacion lineal si es verdadera la igualdad:
a1c1 + a2c2 + ¢ ¢ ¢ + ancn = b:
Siempre tenemos los siguientes casos posibles:
1. Existe una unica solucion.
2. No existe solucion.
3. Existe mas de una solucion.
1.2. Ejemplos, ecuaciones lineales y su solucion
1.2.1. La ecuacion ax = b
1. 2x = ¡1, solucion x = ¡1
2
, soluci¶on ¶unica.
2. 3x = 5, solucion x =
5
3
, solucion unica.
3. La ecuacion ax = b tiene unica solucion si y s¶olo si a 6= 0, no hay solucion si
a = 0; y b 6= 0, hay mas de una solucion si a = 0; y b = 0:
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 3
0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
2 x . 2
Figura 1: Funcion 2x en el valor 2x = 2.
4. El caso especial es si b = 0; es decir ax = 0, en este caso la ecuacion siempre
tiene una solucion y esa solucion es x = 0; tambien llamada solucion trivial.
1.2.2. La ecuacion ax + by = c
1. Si a o b es cero regresamos al caso anterior, entonces a 6= 0; b 6= 0:
2. x+y = 1, en este caso tenemos una in¯nidad de soluciones, las soluciones se
encuentran asignando un valor a una variable, ya sea x o y, posteriormente
se despeja la otra variable.
3. x + y = 1, y = r, entonces x = 1 ¡ r:
4. 2x ¡ 3y = 2, y = r, entonces x =
2 + 3r
2
:
5. En este caso (ax + by = c), tenemos una ecuacion y dos variables, podemos
asignarles un valor arbitrario r a una variable, (a esta variable le llamaremos
variable libre), as¶³ y = r; x =
c ¡ br
a
.

1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 4
0.5 1 1.5
0.5
1
1.5
2 x - 2
Figura 2: Funcion 2x ¡ 1 en el valor 2x ¡ 2 = 0.
6. De nuevo si c = 0, entonces la ecuacion siempre tiene la solucion x = y = 0;
(la solucion trivial).
7. Si a 6= 0; b 6= 0; c = 0 entonces la ecuacion ax + by = 0 tiene mas soluciones
que la trivial, si y = r, entonces x = ¡br
a
.
1.2.3. La ecuacion ax + by + cz = d
1. En este caso, a 6= 0; b 6= 0; c 6= 0:
2. Esta ecuacion tiene 2 variables libres (numero de variables menos numero
de ecuaciones), por ejemplo z; y, si asignamos valores arbitrarios a ellas z =
r; y = s tenemos que el conjunto solucion es f
d ¡ (bs + cr)
a
; s; rg.
3. Si d = 0, entonces la ecuacion siempre tiene una solucion x = y = z = 0, la
solucion trivial. Las otras son f¡
bs + cr
a
; s; rg.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 5
Defnicion 2 Un sistema de m ecuaciones con n incognitas es el siguiente
arreglo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ¢ ¢ ¢ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ¢ ¢ ¢ + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ¢ ¢ ¢ + a3nxn = b3
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ¢ ¢ ¢ + amnxn = bm
Donde las constantes a11; ::; a1n; a12; :::a2n; ::; am1; ::; amn; b1; ::; bm 2 R, y las
incognitas x1; ::; xn son indeterminadas de numeros reales.
Ejemplos:
Un sistema de ecuaciones lineales con n incognitas y m ecuaciones puede ser:
1.
2x1 + 3x2 + x3 = 5
5x1 ¡ x2 + 2x3 = 1
¡4x1 + 8x2 + 2x3 = 0
Es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas.
2.
2x1 + 3x2 + x3 + 4x4 = 5
x1 ¡ 3x2 + 5x3 = 9
Es un sistema de 2 ecuaciones con 4 incognitas.
Defnicion 3 Una solucion de un sistema de ecuaciones, es un conjunto de
valores reales que toman las incognitas x1; ::; xn y dan como resultado todas
las igualdades del sistema de ecuaciones verdaderas.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 6
1.3. Sistemas de ecuaciones 2 £ 2
Los sistemas de ecuaciones mas simples son sistemas de 2 ecuaciones con 2
incognitas.
Geometricamente puede interpretarse, que un sistema de 2 ecuaciones con dos
incognitas, son dos l³neas rectas. Entonces el sistema tiene una unica solucion si
las rectas se intersectan en un solo punto. No tiene solucion es sistema si las rectas
son paralelas. Y el sistema tiene mas de una solucion (una cantidad infnita) si las
rectas son la misma.
1.3.1. Ejemplos de sistemas 2 £ 2.
1. Considere el sistema
x + y = 1
x ¡ y = ¡1
Entonces el sistema se interpreta como las dos rectas:
y = 1 ¡ x
y = x + 1
La soluci¶on es la intersecci¶on de las dos rectas, ¯gura 3.
2. Considere el sistema
x ¡ y = 1
x ¡ y = ¡1
Entonces el sistema se interpreta como las dos rectas:
y = x ¡ 1
y = x + 1
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 7
0.5 1 1.5
0.5
1
1.5
y . x + 1
y . 1 - x
Punto de intersección
Figura 3: Las rectas y = x + 1; y = 1 ¡ x y su punto de intersecci¶on.
En este caso las dos rectas son paralelas, entonces el sistema no tiene soluci¶on,
¯gura 4.
3. Considere el sistema
x ¡ y = ¡1
2x ¡ 2y = ¡2
Entonces el sistema se interpreta como las dos rectas:
y = x + 1
y =
1
2
(2x + 2)
En este caso las dos rectas son la misma, entonces el sistema tiene una in-
¯nidad de soluciones, ¯gura 5.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 8
0.5 1 1.5
0.5
1
1.5
y . x + 1
y . x - 1
Rectas paralelas
Figura 4: Las rectas y = x + 1; y = x ¡ 1, son paralelas.
0.5 1 1.5
0.5
1
1.5
y . x + 1
2 y . 2 x - 2
La misma recta
Figura 5: Las rectas y = x + 1; y =
1
2
(2x ¡ 2), son la misma recta.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 9
1.4. Soluci¶on de sistemas de ecuaciones.
De¯nici¶on 4 Dos sistemas de ecuaciones lineales se llaman equivalentes si
tienen el mismo conjunto de soluciones.
Geom¶etricamente se interpreta a un sistema de 2 ecuaciones con 2 inc¶ognitas
como dos l¶³neas rectas, y en el caso de que tengas una ¶unica soluci¶on, son dos
rectas que se intersectan en un punto (x0; y0). Entonces otro sistema de ecuaciones
lineales que tenga el mismo conjunto de soluciones que el anterior, ser¶an otras dos
cualesquiera l¶³neas rectas que se intersecten en el mismo punto (x0; y0). De hecho
hay en este caso una cantidad in¯nita de sistemas de ecuaciones lineales con la
misma soluci¶on, es decir equivalentes. Por ejemplo el sistemas:
x ¡ y = 0
x ¡ y = 2
Tiene como soluci¶on el punto (1; 1), ¯gura 6. Tambi¶en el sistema:
x=2 ¡ y = ¡1=2
2x + y = 3
Tiene como soluci¶on tambi¶en el punto (1; 1), ¯gura 7. Es decir, los dos sistemas
tienen la misma soluci¶on, por lo tanto son sistemas equivalentes. M¶as a¶un podemos
generar cualquier otro sistema con la misma soluci¶on, a partir de la f¶ormula y¡1 =
m(x ¡ 1).
Entonces una estrategia para resolver un sistemas de ecuaciones lineales, es
transformar el SEL a otro SEL que sea equivalente, pero que sea m¶as f¶acil de
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 10
0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
y . 2 y . x - x
Punto de intersección
Figura 6: Las rectas del sistema x ¡ y = 0, x ¡ y = 2.
0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
y .
x
€€€€€
2
+
1
€€€€€
2
y . 3 - 2 x
Punto de intersección
Figura 7: Las rectas del sistema x=2 ¡ y = ¡1=2, 2x + y = 3.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 11
0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
Figura 8: Sistemas Equivalentes.
resolver. Para poder transformar un SEL a otro SEL equivalente, basta aplicar
algunas operaciones sobre las ¯las del SEL que se llaman operaciones elementales.
Operaciones elementales sobre los sistemas de ecuaciones:
Las operaciones elementales sobre sistemas de ecuaciones son:
1. Intercambio de dos ecuaciones.
2. Multiplicar una ecuaci¶on por una constante diferente de cero.
3. Sumar un m¶ultiplo de una ecuaci¶on a otra ecuaci¶on.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 12
Proposici¶on 1 Un sistema de ecuaciones lineales A que se obtiene de otro
B por medio de operaciones elementales, entonces A y B son equivalentes, es
decir tienen el mismo conjunto de soluciones.
Ejercicios: entontrar la soluci¶on del siguiente SEL, aplicando opera-
ciones elementales sobre ecuaciones:
Ejercicio 1
2x + y = 1
3x ¡ y = 2
Paso 1 Se aplica una OE sobre la ecu. (2). E2 ! ¡3E1 + 2E2
¡3E1 : ¡6x ¡ 3y = ¡3
2E2 : 6x ¡ 2y = 4
E2 : ¡5y = 1
2x + y = 1
3x ¡ y = 2 »=
2x + y = 1
¡5y = 1
Paso 2 Se obtiene el valor de y = ¡1=5 de la nueva ecu. (2).
Paso 3 Se obtiene el valor de x = 3=5 de la ecu. (1).
Ejercicio 2
2x + y = 1
3x ¡ y = 2
Paso 1 Se aplica una OE sobre la ecu. (2). E2 ! ¡3=2E1 + E2
¡3=2E1 : ¡3x ¡ 3=2y = ¡3=2
E2 : 3x ¡ y = 2
E2 : ¡5=2y = 1=2
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 13
2x + y = 1
3x ¡ y = 2 »=
2x + y = 1
¡5=2y = 1=2
Paso 2 Se obtiene el valor de y = ¡1=5 de la nueva ecu. (2).
Paso 3 Se obtiene el valor de x = 3=5 de la ecu. (1).
Ejercicio 3
x + 2y = 8
3x ¡ 4y = 4
Paso 1 Se aplica una OE sobre la ecu. (2). E2 ! ¡3E1 + E2
¡3E1 : ¡3x ¡ 6y = ¡24
E2 : 3x ¡ 4y = 4
E2 : ¡10y = ¡20
x + 2y = 8
3x ¡ 4y = 4 »=
x + 2y = 8
¡10y = ¡20
Paso 2 Se obtiene el valor de y = 2 de la nueva ecu. (2).
Paso 3 Se obtiene el valor de x = 4 de la ecu. (1).
Ejercicio 4
2x + y ¡ 3z = 5
3x ¡ y + 2z = 5
5x ¡ 3y ¡ z = 16
Paso 1 Se aplica una OE sobre la ecu. (2). E2 ! ¡3E1 + 2E2
¡3E1 : ¡6x ¡ 3y + 9z = ¡15
2E2 : 6x ¡ 2y + 4z = 10
E2 : ¡5y + 13z = ¡5
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 14
Paso 2 Se aplica una OE sobre la ecu. (3). E3 ! ¡5E1 + 2E3
¡5E1 : ¡10x ¡ 5y + 15z = ¡25
2E3 : 10x ¡ 6y ¡ 2z = 32
E3 : ¡11y + 13z = 7
2x + y ¡ 3z = 5
3x ¡ y + 2z = 5
5x ¡ 3y ¡ z = 16
»=
2x + y ¡ 3z = 5
¡5y + 13z = ¡5
¡11y + 13z = 7
Paso 3 Se aplican OE a las ecua. E2 y E3. E3 ! ¡E2 + E3
¡E2 : 5y ¡ 13z = 5
E3 : ¡11y + 13z = 7
E3 : ¡6y = 12
2x + y ¡ 3z = 5
¡7y + 13z = ¡5
¡11y + 13z = 7
»=
2x + y ¡ 3z = 5
¡5y + 13z = ¡5
¡6y + = 12
Paso 4 Se obtiene el valor de y = ¡2 de E3.
Paso 5 Se obtiene el valor de z = ¡15
13 de E2.
Paso 6 Se obtiene el valor de x = 23
13 de E1.
Ejercicio 5
2x + 4y + 6z = 18
4x + 5y + 6z = 24
3x + y ¡ 2z = 4
Paso 1 Se aplica una OE sobre la ecu. (2). E2 ! ¡2E1 + E2
¡2E1 : ¡4x ¡ 8y ¡ 12z = ¡36
E2 : 4x + 5y + 6z = 24
E2 : ¡3y ¡ 6z = ¡12
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 15
Paso 2 Se aplica otra OE sobre la ecu. (2). E2 ! ¡1=3E2
¡1=3E2 : y + 2z = 4
Paso 3 Se aplica una OE sobre la ecu. (3). E3 ! ¡3E1 + 2E3
¡3E1 : ¡6x ¡ 12y ¡ 18z = ¡54
2E3 : 6x + 2y ¡ 4z = 8
E3 : ¡10y ¡ 22z = ¡46
Paso 4 Se aplica otra OE sobre la ecu. (2). E3 ! ¡1=2E3
¡1=2E3 : 5y + 11z = 23
2x + 4y + 6z = 18
4x + 5y + 6z = 24
3x + y ¡ 2z = 4
»=
2x + 4y + 6z = 18
y + 2z = 4
5y + 11z = 23
Paso 5 Se aplican OE a las ecua. E2 y E3. E3 ! ¡5E2 + E3
¡5E2 : ¡5y ¡ 10z = ¡20
E3 : 5y + 11z = 23
E3 : z = 3
2x + 4y + 6z = 18
y + 2z = 4
5y + 11z = 23
»=
2x + 4y + 6z = 18
y + 2z = 4
z = 3
Paso 4 Se obtiene el valor de z = 3 de E3.
Paso 5 Se obtiene el valor de y = ¡2 de E2.
Paso 6 Se obtiene el valor de x = 4 de E1.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 16
1.5. M¶etodo de eliminaci¶on de Gauss.
M¶etodo 1 El m¶etodo de Gauss consiste en transformar un sistema de
ecuaciones A, a otro B, por medio de operaciones elementales, de tal forma
que B queda en una forma triangular y por lo tanto puede ser resuelto con
despejes sucesivos simples.
a011x1 + a012x2 + a013x3 + ¢ ¢ ¢ + a01nxn = b01
a022x2 + a023x3 + ¢ ¢ ¢ + a02nxn = b02
a033x3 + ¢ ¢ ¢ + a03nxn = b03
...
a0mnxm = b0m
Como se sabe un SEL puede tener una ¶unica soluci¶on, puede no tener soluciones,
o tener m¶as de una soluci¶on. El M¶etodo de Gauss nos permite saber en cual de
estos casos esta un SEL.
1. En el caso de obtener un SEL equivalente al original, donde obtengamos el
mismo n¶umero de ecuaciones que de inc¶ognitas y podamos despejar a todas
las inc¶ognitas. Entonces el sistema tiene una ¶unica soluci¶on.
2. En el caso de obtener un SEL equivalente al original, donde obtengamos
una contradicci¶on, es decir, una ecuaci¶on falsa. Entonces el sistema no tiene
soluci¶on.
3. En caso de obtener un SEL equivalente al original, donde obtengamos m¶as
inc¶ognitas que ecuaciones. Entonces el sistema tiene m¶as de una soluci¶on.
El n¶umero de variables menos el n¶umero de ecuaciones se llama n¶umero de
variables libres.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 17
1.6. M¶etodo de eliminaci¶on de Gauss-Jordan.
M¶etodo 2 El m¶etodo de Gauss-Jordan consiste en transformar un sis-
tema de ecuaciones A, a otro B, por medio de operaciones elementales,
de tal forma que B queda en la siguiente forma diagonal y por lo tanto la
soluci¶on queda de manera directa.
a011x1 = b01
a022x2 = b02
a033x3 = b03
...
a0mnxm = b0m
Ejemplos:
Ejercicio 6 Continuemos el ejercicio 1, aplicando el m¶etodo completo Gauss-Jordan.
Paso 1 Del ejercicio 1 sabemos que:
2x + y = 1
3x ¡ y = 2 »=
2x + y = 1
¡5y = 1
Paso 2 Continuamos haciendo ceros cambiando E1 ! E2 + 5E1
E2 : ¡5y = 1
5E1 : 10x + 5y = 5
E1 : 10x = 6
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 18
2x + y = 1
3x ¡ y = 2 »=
10x = 6
¡ 5y = 1
Paso 3 Se obtiene el valor de x = 3=5 de la ecu. (1).
Paso 4 Se obtiene el valor de y = ¡1=5 de la ecu. (2).
Ejercicio 7 Continuemos el ejercicio 5, aplicando el m¶etodo completo Gauss-Jordan.
Paso 1 Del ejercicio 5 sabemos que:
2x + 4y + 6z = 18
y + 2z = 4
5y + 11z = 23
»=
2x + 4y + 6z = 18
y + 2z = 4
z = 3
Paso 2 Continuamos haciendo ceros cambiando
E2 ! ¡2E3 + E2
¡2E3 : ¡2z = ¡6
E2 : y + 2z = 4
E2 : y = ¡2
E1 ! ¡6E3 + E1
¡6E3 : ¡6z = ¡18
E1 : 2x + 4y + 6z = 18
E1 : 2x + 4y = 0
2x + 4y + 6z = 18
y + 2z = 4
5y + 11z = 23
»=
2x + 4y = 0
y = ¡2
z = 3
Paso 3 Continuamos haciendo ceros cambiando
E1 ! ¡4E2 + E1
¡4E2 : ¡4y = 8
E1 : 2x + 4y = 0
E1 : 2x = 8
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 19
Paso 4 Se obtiene ¯nalmente.
2x + 4y + 6z = 18
y + 2z = 4
5y + 11z = 23
»=
2x = 8
y = ¡2
z = 3
De donde x = 4; y = ¡2; z = 3 de acuerdo al ejemplo 5.
1.7. Sistemas Homog¶eneos.
Son de especial inter¶es los sistemas de ecuaciones donde b1 = ¢ ¢ ¢ = bn = 0. A
estos sistemas les llamaremos sistemas homog¶eneos.
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ¢ ¢ ¢ + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ¢ ¢ ¢ + a2nxn = 0
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ¢ ¢ ¢ + a3nxn = 0
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ¢ ¢ ¢ + amnxn = 0
Un sistema de ecuaciones lineales homog¶eneo (SELH), SIEMPRE tiene la solu-
ci¶on x1 = x2 = ::: = xn = 0. Llamada soluci¶on trivial.
En este caso, entonces el sistema ¶o tiene s¶olo la soluci¶on trivial ¶o tiene m¶as de
una soluci¶on.
Aplicando el m¶etodo de Gauss, s¶³ obtenemos m¶as inc¶ognitas que ecuaciones,
entonces habr¶a m¶as de una soluci¶on.
Ejercicio 8 Apliquemos el m¶etodo de Gauss a SELH.
x + 2y = 0
3x + 4y = 0
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 20
Paso 1 Aplicando la OE. E2 ! ¡3E1 + E2
¡3E1 : ¡3x ¡ 6y = 0
E2 : 3x + 4y = 0
E2 : ¡2y = 0
x + 2y = 0
3x + 4y = 0 »=
x + 2y = 0
¡ 2y = 0
Paso 3 Se obtiene directamente que el SELH tiene una ¶unica soluci¶on, y es la
trivial.
Ejercicio 9 Resolver el siguiente SELH.
x ¡ y = 0
2x ¡ 2y = 0
Paso 1 Aplicando la OE. E2 ! ¡2E1 + E2
¡2E1 : ¡2x + 2y = 0
E2 : 2x ¡ 2y = 0
E2 : 0 = 0
Como obtenemos una igualdad que es siempre verdadera, por lo tanto
se cumple para todo x; y, la podemos quitar. Por lo tanto:
x ¡ y = 0
2x ¡ 2y = 0 »= x ¡ y = 0
Es decir, tenemos una ecuaci¶on con dos variables, entonces tenemos una
variable libre.
Paso 3 En este caso podemos asignar un valor a una variable, digamos y = a.
Ejercicio 10 Resolver el siguiente SELH.
x + y + z = 0
x ¡ y ¡ z = 0
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 21
Paso 1 Aplicando la OE. E2 ! ¡E1 + E2
¡E1 : ¡x ¡ y ¡ z = 0
E2 : x ¡ y ¡ z = 0
E2 : ¡2y ¡ 2z = 0
Por lo tanto:
x + y + z = 0
x ¡ y ¡ z = 0 »=
x + y + z = 0
¡ 2y ¡ 2z = 0
Paso 2 Aplicando la OE. E2 ! E2=2
E2=2 : ¡x ¡ y = 0
Por lo tanto:
x + y + z = 0
x ¡ y ¡ z = 0 »=
x + y + z = 0
¡ y ¡ z = 0
Paso 3 Por lo tanto de obtenemos que y = ¡z, y sustituyendo en la Ec. 1, ten-
emos que x = 0: As¶³ el conjunto soluci¶on se escribe como f(0; y;¡y)gjy 2 R: